保険は、自己都合で処理されるでしょう。会社都合の場合年齢と勤務年数でかなり状況がかわります。

県外（新幹線利用ありで片道3時間）転勤を命じられ、それを拒んだため退職するとき､失業保険給付は会社都合扱いですか？

元々転勤なしの職場だったのですが、勤務10年以上で初めてでてきた県外の仕事だそうです。

自己都合になってしまいます。
あなたは会社命令を拒んで自主退職したのですから、会社都合になんかなりません。
保険は、自己都合で処理されるでしょう。

転勤業務が全く新規であり、それを理由として、会社命令を拒み、懲戒解雇処分を受けた場合は、会社都合とさせることが出来ます。

契約社員なのですが、契約終了し失業したら失業保険は最初からでますか？

去年の１１月に正社員雇用予定の一年契約で入社しました。
もう１１月なので契約期間終了してますが、人事からは何も返事がないです。
上司に伝えたら、特に問題ない社員だと判子ついといたけど、そのあとどうなるのかは、わからんと言われました。

もしまた一年更新と言われたら、さすがに正社員は嘘だろうから辞退したいのですが、その場合は自己都合退社になって最初の三か月は失業保険は出ないのでしょうか？

考えられているとおり、たとえ契約社員のままでまた一年更新で…と言われているところを「じゃ〜辞めます」と退職すれば、それは自己都合退職となり、給付制限は３ヶ月つきますね。

今の会社で正社員になれるといいですね。
でももしなれなかったとしても上司はあなたのことを評価しているようですので、契約は更新しといてまた時期をみながら見切りをつけるかじっくり決めるのがいいと思いますよ。
正社員になれなかった…じゃ〜辞めますと言っても、困るのはあなたです。
今の社会情勢だとどこに行っても即正社員は難しい時期ですよ。

失業保険の自己都合と会社都合とでは金額の違いはありますか？
5年未満なので90日は同じだと思うのですが待機期間だけがかわるかんじだけでしょうか？

あなたが３５歳未満で、５年未満の勤務であれば会社都合ですと３か月の給付制限がないということ以外は一緒ですね。会社都合の場合年齢と勤務年数でかなり状況がかわります。

ただ、他にも国保の免除を受けることが出来たり、優先的に職業訓練を受けたり出来ることもあるようです。